Question

如图,已知二面角α-PQ-β为60°,点A和点B分别在平面α和平面β内,点C在棱PQ上,∠ACP=∠BCP=30°,CA=CB=a.

(1)求证:AB⊥PQ;

(2)求点B到平面α的距离;

(3)设R是线段CA上的一点,直线BR与平面α所成的角为45°,求线段CR的长度.

Answer 1

(1)证明:在平面β内作BD⊥PQ于D,连结AD.

    ∵∠ACP=∠BCP=30°,CA=CB=a,CD公用,

    ∴△ACD≌△BCD.

    ∴∠ADC=∠BDC=90°,即AD⊥PQ.

    于是PQ⊥平面ABD,则AB⊥PQ.

(2)解:由(1)知∠ADB是二面角α-PQ-β的平面角,

    ∴∠ADB=60°.又PQ⊥平面ABD,

    ∴α⊥平面ABD.

    过B作BE⊥AD于点E,则BE即为B到平面α的距离.

    BE=BD·sin60°=BC·sin30°·sin60°=a.

 (3)解:连结ER,

    ∵BE⊥α,

    ∴∠BRE是BR与α所成的角,

    即∠BRE=45°,则有BR==a.

    易知△ABD为正三角形,AB=AD=BD=a.

    在△ABC中,由余弦定理得cos∠BCA=.

    在△BCR中,设CR=x,由余弦定理得(a)²=x²+a²-2ax·,求得x₁=,x₂=(舍去,∵CR＜AC=a),故CR=.