题目内容
如图，已知二面角α-l-β的平面角为45°，在半平面α内有一个半圆O，其直径AB在l上，M是这个半圆O上任一点（除A、B外），直线AM、BM与另一个半平面β所成的角分别为θ1、θ2．试证明cos2θ1+cos2θ2为定值．分析：过M作MH⊥β，H为垂足，在α内，作MK⊥AB，K为垂足，连接KH，AH，BH，则∠MAH=θ1，∠MBH=θ2．说明∠MKH是二面角α-l-β的平面角．通过AM2=AK•AB，BM2=BK•AB，MK2=AK•BK，在Rt△MHA和Rt△MHB中，表示出sin2θ1+sin2θ2，即可求出所求表达式的值．
解答：
证明：过M作MH⊥β，H为垂足，在α内，作MK⊥AB，K为垂足，连接KH，AH，BH，
则∠MAH=θ1，∠MBH=θ2．
∵MH⊥β，AB?β，
∴MH⊥AB．
∵MK∩MH=M，MK?平面MHK，MH?平面MHK，
∴AB⊥平面MHK．
∵HK?平面MHK，
∴AB⊥HK．
∴∠MKH是二面角α-l-β的平面角．
∴∠MKH=45°．
∴MH=
MK．
在Rt△AMB中，
AM2=AK•AB，BM2=BK•AB，MK2=AK•BK，
在Rt△MHA和Rt△MHB中，sinθ1=
，sinθ2=
．
∴sin2θ1+sin2θ2=
+
=
+
=
+
=
=
=
．
∴cos2θ1+cos2θ2=2-（sin2θ1+sin2θ2）=2-
=
．（定值）．
证明：过M作MH⊥β，H为垂足，在α内，作MK⊥AB，K为垂足，连接KH，AH，BH，则∠MAH=θ1，∠MBH=θ2．
∵MH⊥β，AB?β，
∴MH⊥AB．
∵MK∩MH=M，MK?平面MHK，MH?平面MHK，
∴AB⊥平面MHK．
∵HK?平面MHK，
∴AB⊥HK．
∴∠MKH是二面角α-l-β的平面角．
∴∠MKH=45°．
∴MH=
| ||
| 2 |
在Rt△AMB中，
AM2=AK•AB，BM2=BK•AB，MK2=AK•BK，
在Rt△MHA和Rt△MHB中，sinθ1=
| MH |
| AM |
| MH |
| MB |
∴sin2θ1+sin2θ2=
| MH2 |
| AM2 |
| MH2 |
| MB2 |
| MK2 |
| 2AK•AB |
| MK2 |
| 2BK•AB |
| AK•BK |
| 2AK•AB |
| AK•BK |
| 2BK•AB |
=
| BK+AK |
| 2AB |
| AB |
| 2AB |
| 1 |
| 2 |
∴cos2θ1+cos2θ2=2-（sin2θ1+sin2θ2）=2-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题是中档题，考查二面角的有关知识，直角三角形中射影定理的应用，考查空间想象能力，计算能力．
练习册系列答案
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如图，已知二面角α-AB-β的大小为120°，PC⊥α于C，PD⊥β于D，且PC=2，PD=3．
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，
，
．
，
，四边形
为矩形，
，
，且
，
，
依次是
，
的中点．
．
C．
D．