Question

已知函数f（x）=3ax²+2bx+b-a（a，b是不同时为零的常数）．
（1）当a=

1

3

时，若不等式f（x）＞-

1

3

对任意x∈R恒成立，求实数b的取值范围；
（2）求证：函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点．

Answer 1

分析：（1）把a=

1

3

代入，问题可化为x²+2bx+b＞0对任意x∈R恒成立，可得△=（2b）²-4b＜0，解之即可；
（2）易证当a=0，b≠0时，符合题意；当a≠0时，二次函数f（x）=3ax²+2bx+b-a的对称轴方程为x=-

b

3a

，分①-

b

3a

≤-

1

2

，②-

b

3a

＞-

1

2

借助于零点的存在性定理来证明即可．

解答：解：（1）当a=

1

3

时，f（x）=x²+2bx+b-

1

3

，
问题可化为x²+2bx+b＞0对任意x∈R恒成立，
故可得△=（2b）²-4b＜0，解得0＜b＜1
（2）证：当a=0，b≠0时，f（x）=2bx+b的零点为-

1

2

∈（-1，0），
当a≠0时，二次函数f（x）=3ax²+2bx+b-a的对称轴方程为x=-

b

3a

，
①若-

b

3a

≤-

1

2

，即

b

a

≥

3

2

时，f（-

1

2

）f（0）=（-

1

4

a）（b-a）=（-

1

4

a2）（

b

a

-1）＜0，
所以函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点，
②-

b

3a

＞-

1

2

，即

b

a

＜

3

2

时，f（-1）f（-

1

2

）=（2a-b）（-

1

4

a）=（-

1

4

a2）（2-

b

a

）＜0
所以函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点，
综上可得：函数y=f（x）在（-1，0）内至少存在一个零点．

点评：本题考查函数零点的判断，涉及分类讨论的数学，属基础题．