Question

【题目】已知椭圆： 过点， ， 分别是椭圆的左、右焦点，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线交椭圆于， ，求内切圆面积的最大值和此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），直线l的方程为，

【解析】试题分析：（1）由条件可设处圆的方程，根据直线和圆相切得到，再根据点在椭圆上得到椭圆方程；（2）由，故求△面积的最大值即可，联立直线和椭圆方程，得到二次方程，根据弦长公式和点线距得到，分析单调性可求出最值。

解析：

（Ⅰ）以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆的方程为，

由题意， ，所以．

∵点在椭圆上，∴，解得，

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）由，

根据椭圆定义， ，所以，

于是求△内切圆面积的最大值即为求△面积的最大值．

设直线l的方程为， ， ，则

消去得，所以， ．

因为，点到直线的距离为，

所以△的面积为 ．

令 ，则．

∵在上单调递增，∴当时， 取得最大值为3，

此时，直线l的方程为，

内切圆的半径为，所以内切圆面积的最大值为．