Question

已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证MN∥平面β．

Answer 1

答案：
解析：

证法1：(1)若AB、CD在同一平面内，则平面ABCD与α、β的交线为AC、BD． 　　∵α∥β，∴AC∥BD． 　　又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD． 　　又BD平面β，∴MN∥平面β 　　(2)若AB、CD不共面，如图，过A作AQ∥CD交平面β于Q，取AQ中点P，连MP、PN、BQ、QD． 　　∵AQ∥CD，∴AQ、CD确定一个平面γ， 　　且γ∩α＝AC，γ∩β＝QD． 　　又α∥β，∴AC∥QD． 　　又P、N为AQ、CD中点，∴PN∥QD． 　　又M、P为AB、AQ中点，∴MP∥BQ． 　　∴平面MPN∥平面β，又MN平面MPN． 　　∴MN∥平面β． 　　证法2：(1)若AB、CD在同一平面内，与证法1相同． 　　(2)若AB、CD不共面，如图． 　　过M作直线EF∥CD，交α、β于E、F 　　∵AB∩EF＝M，∴AB、EF确定一个平面γ． 　　平面γ∩α＝AE，平面γ∩β＝BF． 　　∴AE∥BF． 　　又M为AB中点，∴M为EF的中点． 　　又EF∥CD，EF、CD确定平面与α、β的交线为EC、FD． 　　∴EFDC为平行四边形． 　　又M、N分别为EF、CD的中点， 　　∴MN∥FD． 　　又FD平面β，∴MN∥平面β．

提示：

分析：要证线面平行，可先证线线平行或面面平行． 　　解题心得：本题证明过程体现了证线面平行的两种基本方法，解题要防止把AB、CD看成同一平面内的线段而直接用平面几何知识证明的错误．