Question

已知椭圆：.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

Answer 1

（1）；（2）直线与圆相切.

试题分析：（1）把椭圆：化为标准方程，确定，，利用求得离心率；（2）设点，，其中，由，即，用、表示，当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线与圆的位置关系.
（1）由题意椭圆的标准方程为，
所以，，从而，
所以.
（2）直线与圆相切，证明如下：
设点，，其中，
因为，所以，即，解得，
当时，，代入椭圆的方程得，
此时直线与圆相切.
当时，直线的方程为，
即，
圆心到直线的距离为，又，，
故.
故此直线与圆相切.