Question

已知动点A、B分别在x轴、y轴上,且满足|AB|=2,点P在线段AB上,且=2.设点P的轨迹方程为C.

(1)求点P的轨迹方程C;

(2)若点M、N是曲线C上关于原点对称的两个动点,点Q的坐标为(,3),求△QMN的面积S的最大值.

Answer 1

解:(1)设点A、B、P的坐标分别为(a,0)、(0,b)、(x,y),

则即由|AB|=2,得a²+b²=4,

∴曲线C的方程为=1.

(2)设M(x₁,y₁),N(-x₁,-y₁),则|MN|=.

当x₁≠0时,设直线MN的方程为y=x,则点Q到直线MN的距离h=,

∴△QMN的面积S=·2·=|y₁-3x₁|.

∴S²=|y₁-3x₁|²=9x₁²+y₁²-9x₁y₁.

又∵=1,∴9x₁²+y₁²=4.∴S²=4-9x₁y₁.

而1=≥-2··=,

则-9x₁y₁≤4,即S²≤8,S≤2.

当且仅当=时,即x₁=y₁时,“=”成立.

当x₁=0时,|MN|=,△QMN的面积S=××=2.

∴S有最大值22.