Question

[理]如图，已知动点A，B分别在图中抛物线y²=4x及椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的实线上运动，若AB∥x轴，点N的坐标为（1，0），则△ABN的周长l的取值范围是

 

．
[文]点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是

 

．

Answer 1

分析：[理]先根据抛物线方程和椭圆方程分别求得他们的准线方程，设出A，B的坐标，过A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4，根据抛物线和椭圆的定义求得|NA|=|AH|=x₁+1，|NB|=|BH|•

1

2

=

4-x2

2

，进而表示出三角形周长，化简整理后，求得周长L关于x₂的表达式，联立抛物线和椭圆方程求得两曲线的交点，判断出x₂的范围，进而确定L的范围．
[文]由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x-2的距离即为所求．

解答：解：[理]依题意可知抛物线准线为x=-1
椭圆右准线为x=4
设A（x₁，y） B（x₂，y）
过A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4
由圆锥曲线第二定义
|NA|=|AH|=x₁+1
|NB|=|BH|•

1

2

=

4-x2

2

L=x₁+1+x₂-x₁+

4-x2

2

=

x2+6

2

联立抛物线和椭圆方程求得x=

2

3

或-6（舍负）
∴

2

3

≤x₂≤2
∴

10

3

≤

x2+6

2

≤4
即L的取值范围是（

10

3

，4）
[文]点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x-2平行时，
点P到直线y=x-2的距离最小．
直线y=x-2的斜率等于1，
令y=x²-lnx的导数 y′=2x-

1

x

=1，x=1，或 x=-

1

2

（舍去），
故曲线y=x²-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x-2的距离等于

2

，
故点P到直线y=x-2的最小距离为

2

，
故答案为：（

10

3

，4），

2

点评：本题主要考查了椭圆和抛物线的应用，点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．