题目内容

设函数f（x）=
3
sinxcosx+cos2x+a．
（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为
3
2
，求f（x）的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积．
（1）f（x）=
3
2
sin2x+
1+cos2x
2
+a=sin（2x+
π
6
）+a+
1
2

∴T=π
由
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
3π
2
+2kπ，得
π
6
+kπ≤x≤
2π
3
+kπ
故函数f（x）的单调递减区间是[
π
6
+kπ，
2π
3
+kπ]（k∈Z）
（2）∵-
π
6
≤x≤
π
3
，∴-
π
6
≤2x+
π
6
≤
5π
6
，∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1
当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，原函数的最大值与最小值的和（1+a+
1
2
）+（-
1
2
+a+
1
2
）=
3
2

∴a=0，∴f（x）=sin（2x+
π
6
）+
1
2

f（x）的图象与x轴正半轴的第一个交点为（
π
2
，0）
所以f（x）的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积
S=
∫
π
2
0
[sin(2x+
π
6
)+
1
2
]dx=[-
1
2
cos(2x+
π
6
)+
x
2
]
|
π
2
0
=
2
3
+π
4
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=3sin（2x+
π
3
），给出四个命题：①它的周期是π；②它的图象关于直线x=
π
12
成轴对称；③它的图象关于点（
π
3
，0）成中心对称；④它在区间[-
5π
12
，
π
12
]上是增函数．其中正确命题的序号是
 
．
设函数f（x）=
3
sinθ
3
x3+
cosθ
2
x2+4x-1，其中θ∈[0，
5π
6
]，则导数f′（-1）的取值范围是
 
．
设函数f（x）=3sin（ωx+
π
4
）（ω＞0），x∈（-∞，+∞），且以
2π
3
为最小正周期．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（
2
3
a+
π
12
）=
12
5
，求sinα的值．
设函数f（x）=3sin（2x+
π
3
），给出四个命题：①它的周期是2π；②它的图象关于直线x=
π
12
成轴对称；③它的图象关于点（-
π
3
，0）成中心对称；④它在区间[-
5π
12
，
π
12
]上是增函数．其中正确命题的序号是（　　）
设函数f（x）=3sin（2x+φ），φ∈（-π，0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=
π
8

（1）求φ；
（2）求y=f（x）的减区间；
（3）当x∈[0，
π
2
]时求y=f（x）的值域．

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