Question

18．设数列{a_n}是正项等比数列，且a₁=2，a₃=18，数列{b_n}成等差数列，且b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃，b₁+b₂+b₉+b₁₀=a₁+a₂+a₄．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n+1，Q_n=b₂+b₄+b₆+…+b_2n+2，其中n∈N⁺，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由等比数列通项公式，结合题意算出数列{a_n}的公比q=3，可得a_n=2×3^n-1．由此得到{b_n}的前4项和等于26，以及b₁+b₂+b₉+b₁₀=62，利用等差数列的通项公式算出公差d=3，b₁=2，得b_n=3n-1；
（2）根据等差数列的性质，由等差数列求和公式算出P_n、Q_n．作差后，因式分解得P_n-Q_n=$\frac{3}{2}$[n（n-1）-2]，结合n为正整数加以讨论，即可得到P_n与Q_n的大小关系，从而使本题得到解决．

解答 解：（1）设{a_n}的公比为q（q＞0），
由a₃=a₁q²得q²=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=$\frac{18}{2}$=9，解得q=3．
∴a_n=a₁q^n-1=2×3^n-1
设数列{b_n}的公差为d，由b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃=2+6+18=26，
得4b₁+$\frac{4×3}{2}$d=26，
由b₁+b₂+b₉+b₁₀=a₁+a₂+a₄．可得4b1+18d=2+6+54=62，
解得b₁=2，d=3，
所以b_n=b_n+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1；
（2）∵b₁，b₄，b₇，…，b_3n-2，b_3n+1为以3d为公差的等差数列，
∴P_n=（n+1）b₁+$\frac{n（n+1）}{2}$•3d=$\frac{9}{2}$n²+$\frac{13}{2}$n+2；
同理可得：b₂，b₄+，b₆，…，b_2n+2组成以2d为公差的等差数列，且b₂=5，
∴Q_n=（n+1）b₂+$\frac{n（n+1）}{2}$•2d=3n²+8n+5．
因此，P_n-Q_n=（$\frac{9}{2}$n²+$\frac{13}{2}$n+2）-（3n²+8n+5）=$\frac{3}{2}$[n（n-1）-2]．
所以对于正整数n，当n≥2时，P_n≥Q_n；当n=1时，P_n＜Q_n．

点评 本题给出等差数列与等比数列满足的关系式，求它们的通项公式，并比较两个和式的大小．着重考查了等差数列、等比数列的通项公式与求和公式、利用作差法比较两个式子的大小等知识，属于中档题．