Question

如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，
PD⊥底面ABCD．
（I）证明：PA⊥BD
（II）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，
由余弦定理得BD=，
从而BD²+AD²=AB²，
故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，
可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．
故PA⊥BD．
（II）解：作DE⊥PB于E，
已知PD⊥底面ABCD，
则PD⊥BC，
由（I）知，BD⊥AD，
又BC∥AD，∴BC⊥BD．
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，
则DE⊥平面PBC．
由题设知PD=1，
则BD=，PB=2．
根据DE·PB=PD·BD，
得DE=，即棱锥D﹣PBC的高为．