Question

已知数列的首项其中，令集合.
（Ⅰ）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）当时，求集合中元素个数的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）27,9,3；8,9,3；6,2,3..（Ⅱ）见解析. （Ⅲ）集合重元素个数的最大值为21.

试题分析：（Ⅰ）依次代入写出27,9,3；8,9,3；6,2,3.
（Ⅱ）根据及须讨论被3除余1，，被3除余2,被3除余0，等三种情况.
（Ⅲ）注意由已知递推关系推得数列满足：
当时，总有成立，其中.
因此应注意讨论当时，数列中大于3的各项：
按逆序排列各项，构成的数列记为，由（Ⅰ）可得或9，
由（Ⅱ）的证明过程即可知数列的项满足：
，且当是3的倍数时，若使最小，需使，
满足最小的数列中，或7，且，
得到数列是首项为或的公比为3的等比数列，应用等比数列的通项公式即可得出结论.
解答本题的关键是注意“转化”成等比数列问题.
试题解析：（Ⅰ）27,9,3；8,9,3；6,2,3.                                      3分
（Ⅱ）若被3除余1，则由已知可得,；
若被3除余2,则由已知可得,,；
若被3除余0，则由已知可得,；
所以，
所以
所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.
因为，所以.
所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）
若,则；若,则,若,则,
由递推关系易得.                                  8分
（Ⅲ）集合中元素个数的最大值为21.
由已知递推关系可推得数列满足：
当时，总有成立，其中.
下面考虑当时，数列中大于3的各项：
按逆序排列各项，构成的数列记为，由（I）可得或9，
由（Ⅱ）的证明过程可知数列的项满足：
，且当是3的倍数时，若使最小，需使，
所以，满足最小的数列中，或7，且，
所以，所以数列是首项为或的公比为3的等比数列，
所以或，即或，
因为，所以，当时，的最大值是6，
所以，所以集合重元素个数的最大值为21.        13分