Question

【题目】已知函数，（其中是自然对数的底数），，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）在定义域上单调递增；（2）．

【解析】

（1）先求得，利用导数可得恒成立，故可得的单调区间.

（2）对任意的恒成立等价于对任意恒成立，就和结合的单调性分类讨论可得对任意恒成立，参变分离后再次利用导数可求的取值范围.

解：（1）因为，所以.

令，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

所以，又因为，，

所以，在定义域上单调递增.

（2）由得，即，

所以，即对任意恒成立，

设，则

所以，当时，，函数单调递增，

且当时，，当时，，

若，则，

若，因为，且在上单调递增，所以，

综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立.

设，，则，所以在单调递增，

所以，即a的取值范围为．