Question

设函数f（x）的定义域为R，若f（x）≤|x|对一切实数x均成立，则称函数f（x）为Ω函数．
求证：若a＞1，则函数f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函数．

Answer 1

分析：由题意可知f（x）的定义域为R，由f(x)=ln(x2+a)-lna=ln(

x2

a

+1)，a＞1，知

x2

a

+1＞1，f(x)＞0，|f(x)|=f(x)．令g（x）=|f（x）|-|x|=f（x）-|x|当x≥0时，利用导数的性质得到g（x）在[0，+∞）上为减函数；当x＜0时，利用导数的性质得到g（x）在（-∞，0）为增函数．故g（x）在x=0处取得极大值，同时也为最大值．由此能够证明函数f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函数．

解答：证明：由题意可知f（x）的定义域为R，
∵f(x)=ln(x2+a)-lna=ln(

x2

a

+1)，a＞1，
∴

x2

a

+1＞1，f(x)＞0，|f(x)|=f(x)
令g（x）=|f（x）|-|x|=f（x）-|x|
∴当x≥0时，g(x)=f(x)-x，g′(x)=f′(x)-1=

2x

x2+a

-1=

2x-x2-a

x2+a

=

(x-1)2+1-a

x2+a

＜0．
∴g（x）在[0，+∞）上为减函数；
当x＜0时，g(x)=f(x)+x，g′(x)=f′(x)+1=

2x

x2+a

+1=

2x+x2+a

x2+a

=

(x+1)2-1+a

x2+a

＞0
∴g（x）在（-∞，0）为增函数．∴g（x）在x=0处取得极大值，同时也为最大值．
∴g（x）≤g（0）=lna-lna=0．
即|f（x）|-|x|≤0在x∈R恒成立，即|f（x）|≤|x|在x∈R恒成立．
∴函数f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函数．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．