题目内容
在数列{an}中，已知a1=1，且数列{an}的前n项和Sn满足4Sn+1-3Sn=4，n∈N*．
（1）证明数列{an}是等比数列；
（2）设数列{nan}的前n项和为Tn，若不等式Tn+(
)n•
-16＜0对任意的n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．
（1）证明数列{an}是等比数列；
（2）设数列{nan}的前n项和为Tn，若不等式Tn+(
| 3 |
| 4 |
| a |
| n |
分析：（1）利用4Sn+1-3Sn=4，推出
是常数，然后已知
，即可证明数列{an}是等比数列；
（2）利用错位相减法求出数列{nan}的前n项和为Tn，化简不等式Tn+(
)n•
-16＜0，通过对任意的n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．
| an+1 |
| an |
| a2 |
| a1 |
（2）利用错位相减法求出数列{nan}的前n项和为Tn，化简不等式Tn+(
| 3 |
| 4 |
| a |
| n |
解答：解：（1）∵已知4Sn+1-3Sn=4，n∈N*，∴n≥2时，4Sn-3Sn-1=4．
相减得4an+1-3an=0、又易知an≠0，∴
=
． …（4分）
又由4Sn+1-3Sn=4，n∈N*得4（a1+a2）-3a1=4，∴a2=
，∴
=
．
故数列{an}是等比数列． …（5分）
（2）由（1）知an=1×(
)n-1=(
)n-1． …（6分）
∴Tn=1×(
)0+2×(
)1+…+n×(
)n-1，
∴
Tn=1×(
)1+2×(
)2+…+n×(
)n．
相减得
Tn=1+
+(
)2+…+(
)n-1-n×(
)n=
-n×(
)n，
∴Tn=16-16×(
)n-4n×(
)n，…（8分）
∴不等式Tn+(
)n×
-16＜0
为16-16×(
)n-4n×(
)n+(
)n×
-16＜0．
化简得4n2+16n＞a．
设f（n）=4n2+16n，
∵n∈N*∴f（n）min=f（1）=20．
故所求实数a的取值范围是（-∞，20）． …（10分）
相减得4an+1-3an=0、又易知an≠0，∴
| an+1 |
| an |
| 3 |
| 4 |
又由4Sn+1-3Sn=4，n∈N*得4（a1+a2）-3a1=4，∴a2=
| 3 |
| 4 |
| a2 |
| a1 |
| 3 |
| 4 |
故数列{an}是等比数列． …（5分）
（2）由（1）知an=1×(
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴Tn=1×(
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
相减得
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
1-(
| ||
1-
|
| 3 |
| 4 |
∴Tn=16-16×(
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴不等式Tn+(
| 3 |
| 4 |
| a |
| n |
为16-16×(
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| a |
| n |
化简得4n2+16n＞a．
设f（n）=4n2+16n，
∵n∈N*∴f（n）min=f（1）=20．
故所求实数a的取值范围是（-∞，20）． …（10分）
点评：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力．
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