Question

利用数列{a_n}：a₁，a₂，a₃，…，a_n，…构造一个新的数列：a₁，（a₂-a₁），（a₃-a₂），…，（a_n-a_n-1），…此数列是首项为1，公差为2的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若bn=

1

anan+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T₂₀₀₉．

Answer 1

分析：（1）由累加法知a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=n+

n(n-1)

2

×2=n2．
（2）bn=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此能求出T₂₀₀₉．

解答：解：（1）a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=n+

n(n-1)

2

×2=n2
∴a_n=n²
（2）bn=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T2009=1-

1

2010

=

2009

2010

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意累加法和裂项求和法的合理运用．