Question

已知函数F（x）=

3x-2

2x-1

(x≠

1

2

)．
（I）求F（

1

2011

）+F（

2

2011

）+…+F（

2010

2011

）；
（II）已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），证明{

1

an-1

}为等差数列（n∈N^*），并求数列{a_n}的通项公式；
（III）已知若b＞a＞0，c＞0，则必有

b

a

＞

b+c

a+c

，利用此结论，求证：a₁a₂…a_n＞

2n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）由F（x）=

3x-2

2x-1

(x≠

1

2

)，得F（x）+F（1-x）=3，设S=F（

1

2011

）+F（

2

2011

）+…+F（

2010

2011

），利用倒序相加法能求出F（

1

2011

）+F（

2

2011

）+…+F（

2010

2011

）的值．
（II）将等式a_n+1=F（a_n）的两边同时减去1，得an+1-1=

3an-2

2an-1

-1=

an-1

2an-1

，由此能证明证明{

1

an-1

}为等差数列（n∈N^*），并求数列{a_n}的通项公式．
（III）由

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

，得an=

2n

2n-1

＞

2n+1 2n-1

，由此能够证明a₁a₂…a_n＞

2n+1

（n∈N^*）．

解答：解：（I）∵F（x）=

3x-2

2x-1

(x≠

1

2

)，
∴F（x）+F（1-x）=

3x-2

2x-1

+

3(1-x)-2

2(1-x)-1

=

3x-2

2x-1

+

1-3x

1-2x

=

6x-3

2x-1

=3，
设S=F（

1

2011

）+F（

2

2011

）+…+F（

2010

2011

），①
则S=F（

2010

2011

）+F（

2009

2011

）+…+F（

1

2011

），②
①+②，得2S=[F（

1

2011

）+F（

2010

2011

）]+[F（

2

2011

）+F（

2009

2011

）]+…+[F（

2010

2011

）+F（

1

2011

）]=3×2010=6030，
∴S=3015，
∴F（

1

2011

）+F（

2

2011

）+…+F（

2010

2011

）=3015．
（II）将等式a_n+1=F（a_n）的两边同时减去1，
得an+1-1=

3an-2

2an-1

-1=

an-1

2an-1

，
∴

1

an+1-1

=

2an-1

an-1

=

2(an-1)+1

an-1

=2+

1

an-1

，
即

1

an+1-1

-

1

an-1

=2，又

1

a1-1

=

1

2-1

=1，
∴数列{

1

an-1

}是以2为公差，1为首项的等差数列，
所以

1

an-1

=1+(n-1)×2=2n-1，
所以an=1+

1

2n-1

=

2n

2n-1

．
（III）∵

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

，
∴(

2n

2n-1

)2＞

2n+1

2n

•

2n

2n-1

=

2n+1

2n-1

，
∴an=

2n

2n-1

＞

2n+1 2n-1

，
∴a₁a₂…a_n＞

3 1 × 5 3 × 7 5 ×…× 2n+1 2n-1

=

2n+1

（n∈N^*）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和放缩法的合理运用．