Question

【题目】已知函数（为实数）．

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满

足，求的取值范围；

（3）已知，求证：．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用导数的几何意义求解；(2)借助题设运用分类整合思想及导数的知识求解；(3)依据题设运用导数和对数函数的性质及运算法则推证.

（1）当时，，则，

∴函数的图象在点处的切线方程为：，即；

（2）解：，由，

由于函数在区间上不存在极值，所以，

由于存在满足，所以，对于函数，对称轴，

①当，即时，，

由，结合或可得：；

②当，即时，，

由，结合可知：不存在；

③当，即时，；

由，结合可知：，综上可知，的取值范围是．

（3）证明：当时，，

当时，，单调递增；

当时，单调递减，

∴在处取得最大值，

即，∴，令，则，即，

∴

，

故．