Question

x=3是函数f(x)=(x²+ax+b)e^3-x(x∈R)的一个极值点.

(1)求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；

(2)设a＞0,g(x)=(a²+)e^x.若存在ξ₁，ξ₂∈［0,4］使得|f(ξ₁)-f(ξ₂)|＜1成立，求a的取值范围.

Answer 1

解：(1)f′(x)=-［x²+(a-2)x+b-a］e^3-x,

由f′(3)=0,得-［3²+(a-2)3+b-a］e^3-3=0, 即得b=-3-2a.

则f′(x)=［x²+(a-2)x-3-2a-a］e^3-x=-［x²+(a-2)x-3-3a］e^3-x=-(x-3)(x+a+1)e^3-x.

令f′(x)=0，得x₁=3或x₂=-a-1,由于x=3是极值点，

所以x+a+1≠0,那么a≠-4.

当a＜-4时，x₂＞3=x₁,则

在区间（-∞,3］上，f′(x)＜0,f(x)为减函数；

在区间［3,-a-1］上，f′(x)＞0,f(x)为增函数；

在区间［-a-1,+∞）上，f′（x）＜0,f(x)为减函数.

当a＞-4时，x₂＜3=x₁,则

在区间(-∞,-a-1］上， f′(x)＜0,f(x)为减函数；

在区间［-a-1,3］上，f′（x）＞0， f(x)为增函数；

在区间［3,+∞）上，f′(x)＜0,f(x)为减函数.

(2)由（1）知，当a＞0时，f(x)在区间（0,3］上的单调递增，在区间［3，4］上单调递减，那么f(x)在区间［0,4］上的值域是［min｛f(0),f(4)},f(3)］,

而f(0)=-(2a+3)e³＜0,f(4)=(2a+13)e^-1＞0,f(3)=a+6,

那么f(x)在区间［0,4］上的值域是［-(2a+3)e³,a+6］.

又g(x)=(a²+)e^x在区间［0,4］上是增函数.

且它在区间［0,4］上的值域是［a²+254,(a²+)e⁴］.

由于(a²+)-(a+6)=a²-a+-(a-)²≥0，所以只需仅需（a²+）-(a+6)＜1且a＞0,解得0＜a＜.

故a的取值范围是（0,）.