Question

已知函数（、为常数），在时取得极值．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）数列满足（且），，数列的前项和为，
求证：（,是自然对数的底）．

Answer 1

（1）且；（2）；（3）详见解析．

试题分析：（1）求实数的取值范围，因为函数在时取得极值，故在有定义，得，可对函数求导得，，则是的根，这样可得的关系是，再由的范围可求得的取值范围；（2）当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围，当时，由得，代入得 ，对求导，判断单调性，即可得函数的最小值；（3）求证：，即证，因此需求出数列的通项公式及前项和为，由数列满足（且），，得，即，可求得，它的前项和为不好求，由此可利用式子中出现代换，由（2）知，令得，，取，叠加可证得结论．
试题解析：（1） ∵在有定义 ∴
∴是方程的根，且不是重根
∴ 且 又 ∵ ∴且          4分
（2）时   即方程在上有两个不等实根
即方程在上有两个不等实根
令 
 
∴在上单调递减，在上单调递增 
当时，且当时，
∴当时，方程有两个不相等的实数根           8分
（3）   ∴     ∴    ∴ 
∴                     10分
由（2）知  
代 得 即
∴



累加得

即      ∴   得证        14分