Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，右焦点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点，使得为正三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）在轴上是存在点，坐标为，

【解析】

（1）因为椭圆：的离心率为，可得，右焦点到直线的距离为，故，即可求得答案；

（2）设线段的中点，若是正三角形，且，结合已知，即可求得答案.

（1）椭圆：的离心率为

，可得

故

右焦点到直线的距离为.

①当时，将代入

可得

整理可得：

即

解得：（舍去）或

由，可得，即

根据

可得：

②当时，将代入

可得

整理可得：

方程无解

（2）过点作与坐标轴不垂直的直线

设直线的方程为

联立直线的方程和椭圆方程可得：，消掉

可得：

根据韦达定理可得：

设线段的中点，

则，

是正三角形

且

根据，可得

由可得：

可得：，解得：

设，将其代入

可得

可得

故在轴上是存在点，使得为正三角形，坐标为，