Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）记t=lnx+x，通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a的范围即可．

（1）定义域为：，

当时，.

∴在时为减函数；在时为增函数.

（2）记，则在上单增，且.∴ .∴在上有两个零点等价于在上有两个零点.

①在时，在上单增，且，故无零点；②在时，在上单增，又，，故在上只有一个零点；

③在时，由可知在时有唯一的一个极小值.

若，，无零点；若，，只有一个零点；若时，，而，由于在时为减函数，可知：时，.从而，∴在和上各有一个零点.综上讨论可知：时有两个零点，即所求的取值范围是.