Question

设函数f(x)=log2(ax-bx)，且f（1）=1，f（2）=log₂12
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值；
（3）p为何值时，函数g(x)=log2(ax-bx+p)与x轴无交点．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=log2(ax-bx)，且f（1）=1，f（2）=log₂12，知

f(1)=log2(a-b)=1 f(2)=log2(a2-b2)=log212

，由此能求出a，b的值．
（2）由f（x）=log₂（4^x-2^x）=log₂2^x+log₂（2^x-1）在[1，2]是增函数，能够求出f（x）的最大值．
（3）由函数g（x）=log2(ax-bx+p)与x轴无交点，知满足

4x-2x+p＞0有解 g(x)=log2(4x-2x+p)=0无实数解

，由此能求出p的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=log2(ax-bx)，
且f（1）=1，f（2）=log₂12，
∴

f(1)=log2(a-b)=1 f(2)=log2(a2-b2)=log212

，
解得a=4，b=2．
（2）∵f（x）=log₂（4^x-2^x）
=log₂2^x+log₂（2^x-1）在[1，2]是增函数，
∴f（x）_max=f（2）=log₂12．
（3）∵函数g（x）=log2(ax-bx+p)与x轴无交点，
∴满足

4x-2x+p＞0有解 g(x)=log2(4x-2x+p)=0无实数解

，
∴

4x-2x+p＞0有解① 4x-2x+p=1无实数解②

，
由①得p＞-4^x+2^x=-（2^x-

1

2

）²+

1

4

有解，
∴p＞[-（2^x-

1

2

）²+

1

4

]_min，
∵-（2^x-

1

2

）²+

1

4

→-∞，∴p∈R．③
由②得p=-4^x+2^x+1=-（2^x-

1

2

）²+

5

4

无实数解，
而-（2^x-

1

2

）²+

5

4

≤

5

4

，
∴p＞

5

4

，④，
综合③④知P＞

5

4

．

点评：本题考查满足条件的实数的求法，考查函数的最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．