Question

设f（x）=cos2x-2a（1+cosx）的最小值为-

1

2

，则a=

 

．

Answer 1

分析：根据二倍角余弦公式，将f（x）化为f（x）=2cos²x-1-2a-2acosx=2(cosx-

a

2

)2-

1

2

a2-2a-1，看作关于cosx的二次函数，再结合二次函数的性质求出最小值的表达式，最后解相应的方程即可．

解答：解：f（x）=2cos²x-1-2a-2acosx=2(cosx-

a

2

)2-

1

2

a2-2a-1，∵-1≤cosx≤1
∴（1）a＞2时，f（x）当cosx=1时取最小值1-4a；
（2）a＜-2时，f（x）当cosx=-1时取最小值1；
（3）-2≤a≤2时，f（x）当cosx=

a

2

时取最小值-

1

2

a2-2a-1．
又a＞2或a＜-2时，f（x）的最小值不能为-

1

2

，
故-

1

2

a2-2a-1=-

1

2

，解得a=-2+

3

，
故答案为-2+

3

点评：本题考查三角函数性质，二次函数性质，考查分类讨论、转化、计算等能力和方法．