Question

1．在△ABC中，记角A，B，C的对边为a，b，c，角A为锐角，设向量$\overrightarrow m$=（cosA，sinA），$\overrightarrow n$=（cosA，-sinA），且$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=$\frac{1}{2}$
（I）求角A的大小及向量$\overrightarrow m$与$\overrightarrow n$的夹角；
（II）若a=$\sqrt{5}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）在△ABC中，由$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=$\frac{1}{2}$求得cos2A=$\frac{1}{2}$，可得A的值．再根据两个向量的数量积的定义求得向量$\overrightarrow m$与$\overrightarrow n$的夹角．
（II）由条件利用余弦定理以及基本不等式求得bc的最大值，可得△ABC面积$\frac{1}{2}$bc•sinA的最大值．

解答 解：（I）在△ABC中，由$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=$\frac{1}{2}$求得cos2A=$\frac{1}{2}$，可得$A=\frac{π}{6}$．
再根据$\overrightarrow m•\overrightarrow n=|\overrightarrow m|•|\overrightarrow{n|}•cos＜\overrightarrow{m，}\overrightarrow{n＞}=\frac{1}{2}$=cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞，求得cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{2}$，
可得向量$\overrightarrow m$与$\overrightarrow n$的夹角＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{π}{3}$．
（II）∵a=$\sqrt{5}$，A=$\frac{π}{6}$，由余弦定理可得a²=5=b²+c²-2bc•cosA≥2bc-$\sqrt{3}$bc，
求得 bc≤10+5$\sqrt{3}$，当且仅当b=c时取等号，故△ABC面积$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{bc}{4}$的最大值为$\frac{10+5\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．