Question

在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．
（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体E-AFMN的体积．

Answer 1

分析：（1）由题意及图形的翻折规律可知MN应是△ABF的一条中位线，利用线面平行的判定定理即可求证；
（2）利用条件及线面垂直的判定定理可知

AB⊥BE AB⊥BF

?AB平面BEF，在利用锥体的体积公式即可．

解答：证明：（1）因翻折后B、C、D重合（如图），
所以MN应是△ABF的一条中位线，
则

MN∥AF MN?平面AEF AF?平面AEF

?MN∥平面AEF．
（2）解：因为

AB⊥BE AB⊥BF

?AB⊥面BEF
且AB=6，BE=BF=3，
∴V_A-BEF=9，
又

VE-AFMN

VE-ABF

=

SAFMN

S△ABF

=

3

4

，
∴VE-AFMN=

27

4

．

点评：此题考查了图象的翻折规律，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理及锥体的体积公式．