Question

10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且$\frac{sinC}{sinA-sinB}$=$\frac{a+b}{a-c}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）点D满足$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{BC}$，且线段AD=3，求2a+c的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理和余弦定理，即可求出cosB以及B的值；
（Ⅱ）结合题意画出图形，根据图形利用余弦定理和基本不等式，即可求出2a+c的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，$\frac{sinC}{sinA-sinB}$=$\frac{a+b}{a-c}$，
∴$\frac{c}{a-b}$=$\frac{a+b}{a-c}$，
∴ac-c²=a²-b²，
∴ac=a²+c²-b²，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$；
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）如图所示，

点D满足$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{BC}$，∴BC=CD；
又线段AD=3，
∴AD²=c²+4a²-2•c•2acos$\frac{π}{3}$=c²+4a²-2ac=9，
∴c²+4a²=9+2ac；
又c²+4a²≥2c•2a，
∴4ac≤9+2ac，
∴2ac≤9；
∴（2a+c）²=4a²+4ac+c²=9+6ac≤9+3×9=36，
∴2a+c≤6，
即2a+c的最大值为6．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合题．