Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=120°，AB=1，侧棱PA与底面所成角为45°，设AC与BD交于点O，M为PA 的中点，OM⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）设E是PB的中点，求三棱锥E-PAD的体积；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦．

Answer 1

分析：（1）由OM是△APC的中位线，可得PC⊥面ABCD，PC⊥BD，由底面ABCD为菱形可得AC⊥BD，从而证明BD⊥平面PAC．
（2）利用三棱锥E-PAD的体积 V_E-PAD=

1

2

V_B-PAD=

1

2

 V_P-BAD=

1

2

×

1

3

S_△ABD•PC 计算结果．
（3）作CF⊥AD，交 AD延长线于F，则PF⊥AD，过点P作AD的平行线l，可证∠CPF为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，利用直角三角形中的边角关系求得cos∠CPF 的值．

解答：解：（1）证明：∵OM是△APC的中位线，∴OM∥PC，∵OM⊥面ABCD，∵PC⊥面ABCD，PC⊥BD．
又底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD．而OM 和 AC是平面PAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面PAC．
（2）△ABC中，有余弦定理求得AC=

3

，∵侧棱PA与底面所成角为45°，∴PC=

3

，
三棱锥E-PAD的体积 V_E-PAD=

1

2

V_B-PAD=

1

2

 V_P-BAD=

1

2

×

1

3

S_△ABD•PC
=

1

6

（

1

2

×1×1•sin60°）

3

=

1

8

． 
（3）∵PC⊥面ABCD，作CF⊥AD，交 AD延长线于F，则PF⊥AD．过点P作AD的平行线l，
则l是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的棱，且l⊥PC，l⊥PF，
故∠CPF为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．
CF=DCsin60°=

3

2

，Rt△PCF中，tan∠CPF=

FC

PC

=

3 2

3

=

1

2

，
∴cos∠CPF=

2 5

5

．

点评：本题考查证明线面垂直的方法，求棱锥的体积和二面角的大小，直线与平面垂直的判定、性质的应用，找出二面角的平面角是解题的难点．