Question

18．已知α∈（0，2π），则满足不等式$sin2α＞{∫}_{0}^{α}cosxdx$的α的取值范围是（　　）

• A． .$（\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}）$
• B． （0，$\frac{π}{3}$）∪（$\frac{5π}{3}$，2π）
• C． （0，$\frac{π}{3}$）∪（π，$\frac{5π}{3}$）
• D． （$\frac{π}{3}$，π）∪（$\frac{5π}{3}$，2π）

Answer 1

分析 积分可化不等式为sinα（2cosα-1）＞0，由因式的符号结合α∈（0，2π）可得．

解答 解：不等式$sin2α＞{∫}_{0}^{α}cosxdx$可化为sin2α＞sinα${|}_{0}^{α}$，即sin2α＞sinα，
∴2sinαcosα＞sinα，即sinα（2cosα-1）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinα＞0}\\{2cosα-1＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{sinα＜0}\\{2cosα-1＜0}\end{array}\right.$，
结合α∈（0，2π）可得α的取值范围为（0，$\frac{π}{3}$）∪（π，$\frac{5π}{3}$）
故选：C

点评 本题考查定积分的求解，涉及三角函数不等式，属基础题．