Question

已知平行四边形ABCD(图1)中,AB=4,BC=5,对角线AC=3,将三角形ACD沿AC折起至PAC位置(图2),使二面角为60⁰,G,H分别是PA,PC的中点.

（1）求证:PC平面BGH;
（2）求平面PAB与平面BGH夹角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）平面PAB与平面BGH夹角的余弦值．

试题分析：（1）求证: 平面，证明线面垂直，只需证明线和平面内两条相交直线垂直即可，由于是的中位线,，所以，由已知，对角线,得，从而可得，即，即，只需再找一条垂线即可，
若问题得证，要证，只要即可，由已知二面角为60⁰，可找二面角的平面角，故过C作且,连，则，这样可证得，从而得证；（2）求平面PAB与平面BGH夹角的余弦值，求二面角的大小，可采用向量法来求，以CE的中点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得各点的坐标，分别找出两个平面的法向量，即可求出平面PAB与平面BGH夹角的余弦值．
试题解析：（1）证明:过C作且,连BE,PE
,
四边形是矩形,，
平面PEC,
是正三角形
平面PEC
=5=BC,
而H是PC的中点,,是的中位线,,
,平面BGH.
（2）以CE的中点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
,,
先求平面PAB的法向量为,而平面BGH的法向量为,
设平面PAB与平面BGH的夹角为,则.