题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，左、右端点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上存在两点A和B关于直线y=2x+m对称，求实数m的范围．

解：（Ⅰ）由已知椭圆C的离心率e= $\text{[math]}$ ，a=2，可得 c= $\text{[math]}$ ，
所以b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ =1．
（Ⅱ）设直线AB方程为：y=- $\text{[math]}$ x+b，
由 $\text{[math]}$ ，得x²-2bx+2b²-2=0，△=4b²-4（2b²-2）＞0，即b²＜2①，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2b，所以线段AB中点横坐标为x= $\text{[math]}$ =b，代入y=- $\text{[math]}$ x+b，得y= $\text{[math]}$ ，
由中点在直线y=2x+m上，得 $\text{[math]}$ =2b+m，即 $\text{[math]}$ ②，
联立①②解得- $\text{[math]}$ ＜m＜ $\text{[math]}$ ．
故所求实数m的取值范围为：- $\text{[math]}$ ＜m＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由题意得，e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a=2，从而求得b、c的值，从而求得椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线AB方程为：y=- $\text{[math]}$ x+b，与椭圆联立方程组消掉y得x的二次方程，易知△＞0①，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理及中点公式可得AB中点坐标，代入直线y=2x+m可得关于m，b的方程②，联立①②即可求得m的范围；
点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，考查轴对称问题，关于圆锥曲线中的轴对称问题一般采取方程不等式法解决，即判别式大于0及中点在直线上得一方程一不等式．