Question

【题目】已知指数函数y＝g(x)满足：g(3)＝8，定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)确定y＝f(x)和y＝g(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；

(3)若对于任意x∈[－5，－1]，都有f(1－x)＋f(1－2x)＞0成立，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝，g(x)＝2x；（2）见解析；（3）[2,3].

【解析】

（1）由题意可设，代入条件可得函数解析式，从而得f(x)；

（2）任取x1，x2∈R，x1<x2，化简f(x1)－f(x2)与0比较大小即可得单调性；

（3）由函数为奇函数可得f(1－x)>f(2x－1)，，结合单调性和定义域可得，从而得解.

(1)设，

∵g(3)＝a3＝8，∴a＝2，∴g(x)＝2x，

∴f(x)＝，

∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＋f(1)＝0，即，解得m＝2.

经检验，当m＝2时，f(x)＝为奇函数，

∴f(x)＝;

(2)任取x1，x2∈R，x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝＝.

∵x1<x2，

∴2x2－2x1>0，

又∵1＋2x1>0，1＋2x2>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，

∴f(x1)>f(x2)，

∴f(x)是定义在R上的减函数；

(3)∵f(1－x)＋f(1－2x)>0，且f(x)为奇函数，

∴f(1－x)>f(2x－1)，

∴，

解得2≤x≤3，

∴x的取值范围是[2,3].