Question

已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=，sin（A-B）=．
（Ⅰ）求证：tanA=2tanB；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高．

Answer 1

【答案】分析：（1）把角放在锐角三角形中，使一些运算简单起来，本题主要考查两角和与差的正弦公式，根据分解后的结构特点，解方程组，做比得到结论．
（2）同角的三角函数之间的关系，换元解方程在直角三角形中，用定义求的结果
解答：（I）证明：∵sin（A+B）=，sin（A-B）=，
∴sinAcosB+cosAsinB=，sinAcosB-cosAsinB=，
∴sinAcosB=，cosAsinB=，
∴tanA=2tanB．
（2）解：∵＜A+B＜π，，∴，
即，将tanA=2tanB代入上式并整理得2tan²B-4tanB-1=0
解得，因为B为锐角，所以，∴tanA=2tanB=2+．
设AB上的高为CD，则AB=AD+DB=，由AB=3得CD=2+
故AB边上的高为2+．
点评：以锐角三角形为载体，应用同角三角函数之间的关系，应用两角和与差的正弦公式，求解过程中应用代数方法解题，构造直角三角形用锐角三角函数解决问题，这种问题做起来有一定难度．