Question

函数y=-x²+mx-1与以A（0，3）、B（3，0）为端点的线段（包含端点）有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是

（3，

10

3

]

．

Answer 1

分析：由题意可求线段AB所在的直线的解析式为y=-x+3（0≤x≤3），由抛物线与线段所在的线段y=-x+3（0≤x≤3）有两个不同的交点，可得方程x²-（1+m）x+4=0，在[0，3]上应该有两个不相等的实数根即f（x）=x²-（m+1）x+4在[0，3]与x轴上有2个交点，结合二次函数的性质可求

解答：解：设线段AB所在的直线的解析式为y=kx+b，
分别把（3，0），（0，3）代入可得，0=3k+b，3=b
解得k=-1，b=3
所以，线段AB所在的直线的解析式为y=-x+3（0≤x≤3）
联立y=-x+3，y=-x²+mx-1
得x²-（1+m）x+4=0
因为抛物线与线段所在的线段y=-x+3（0≤x≤3）有两个不同的交点，
所以方程x²-（1+m）x+4=0在[0，3]上应该有两个不相等的实数根
令f（x）=x²-（1+m）x+4
∴

△=(1+m)2-16＞0 0＜ 1+m 2 ＜3 f(0)=4＞0 f(3)=13-3(1+m)≥0

∴3＜m≤

10

3

故答案为：（3，

10

3

]

点评：本题主要考查了直线与曲线的相交关系的应用，解题中要注意解题中的x的范围限制．