题目内容
如图（a）所示，在边长为2的正方形ABB1A1中，C，C1分别是AB，A1B1的中点，现将正方形ABB1A1沿CC1折叠，使得平面ACC1A1⊥平面CBB1C1，连接AB，A1B1，AB1，如图（b）所示，F是AB1的中点，E是CC1上的点．（1）当E是棱CC1中点时，求证：EF⊥平面ABB1A1；
（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A-EB1-B的大小为45°？若存在，求CE的长度；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据题意得到三角形相似，得到线段相等进而得到EF⊥AB1，同理可得：EF⊥A1B，然后结合线面垂直的判定定理可得线面垂直．
（2）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系C-xyz，设出E点坐标，分别求出平面AEB1与EB1B的法向量，根据二面角A-EB1-B的大小是45°，代入向量夹角公式，构造方程即可得到答案．
（2）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系C-xyz，设出E点坐标，分别求出平面AEB1与EB1B的法向量，根据二面角A-EB1-B的大小是45°，代入向量夹角公式，构造方程即可得到答案．
解答：解：（1）连接BA1，BE，EA1，EA，EB1，
因为△ACE≌B1C1E，
所以AE=B1E．
又因为在△AB1F中，F为AB1的中点，
所以EF⊥AB1．
同理可得：EF⊥A1B．
因为A1B∩AB1=F，
所以EF⊥平面A1B1BA．
（2）由已知可得CA⊥CB，CA⊥CC1，CB⊥CC1，所以建立空间直角坐标系如图所示：
所以C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），假设存在点E，设E（0，0，a），
所以
=(-1，0，a)，
=(-1，1，2)．
设平面AB1E的法向量为
=(x，y，z)，
所以
，即
，
所以取
=(a，a-2，1)．
因为平面BB1E的法向量为
=(1，0，0)，
所以cos＜
，
＞=
=
，
所以解得：a=
．
所以在棱CC1上存在点E，使得二面角A-EB1-B的大小为45°．
因为△ACE≌B1C1E，
所以AE=B1E．
又因为在△AB1F中，F为AB1的中点，
所以EF⊥AB1．
同理可得：EF⊥A1B．
因为A1B∩AB1=F，
所以EF⊥平面A1B1BA．
（2）由已知可得CA⊥CB，CA⊥CC1，CB⊥CC1，所以建立空间直角坐标系如图所示：
所以C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），假设存在点E，设E（0，0，a），
所以
| AE |
| AB1 |
设平面AB1E的法向量为
| n |
所以
|
|
所以取
| n |
因为平面BB1E的法向量为
| m |
所以cos＜
| n |
| m |
| ||||
|
|
| ||
| 2 |
所以解得：a=
| 5 |
| 4 |
所以在棱CC1上存在点E，使得二面角A-EB1-B的大小为45°．
点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定定理，以及二面角的平面角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
练习册系列答案
智趣寒假作业云南科技出版社系列答案
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已知边长为2的菱形ABCD，如图（a）所示，∠BAD=60°，过D点作DE⊥AB于E点，现沿着DE折成一个直二面角，如图（b）所示；
=a，
=b，
=c，求|a-b+c|.
=a，
=b，
=c，求|a-b+c|.