Question

设直线l与曲线y=x³+2有三个不同的交点A，B，C，且|AB|=|BC|=

2

，则直线l的斜率为（　　）

• A、1
• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

分析：如图所示，由于曲线y=x³+2关于点（0，2）中心对称．又直线l与曲线y=x³+2有三个不同的交点A，B，C，
且|AB|=|BC|=

2

，可知B（0，2）．直线l的斜率为k，由图可知：k＞0．与曲线y=x³+2联立再利用两点间的距离即可得出．

解答：解：如图所示，
∵曲线y=x³+2关于点（0，2）中心对称．
又直线l与曲线y=x³+2有三个不同的交点A，B，C，且|AB|=|BC|=

2

，
∴B（0，2）．
设直线l的斜率为k，由图可知：k＞0．
则y=kx+2，
联立

y=kx+2 y=x3+2

，解得x=0，±

k

．
取A（-

k

，-k

k

+2），则

(- k )2+(-k k )2

=

2

，
化为k+k³=2，
化为（k-1）（k²+k+2）=0．
解得k=1．
解得k=1．
故选：A．

点评：本题考查了三次函数的中心对称性、曲线的交点、两点间的距离公式，属于难题．