Question

5．设x∈（0，$\frac{π}{2}$），若$\frac{1}{sinx}$+$\frac{1}{cosx}$=2$\sqrt{2}$，则sin（2x+$\frac{π}{3}$）=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根据同角的三角函数的关系式进行化简，结合两角和差的正弦公式进行求解即可．

解答 解：由$\frac{1}{sinx}$+$\frac{1}{cosx}$=2$\sqrt{2}$，得$\frac{sinx+cosx}{sinxcosx}$=2$\sqrt{2}$，
即sinx+cosx=2$\sqrt{2}$sinxcosx，
平方得1+sin2x=（$\sqrt{2}$sin2x）²=2sin²2x，
即2sin²2x-sin2x-1=0，
得sin2x=1或sin2x=-$\frac{1}{2}$，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2x∈（0，π），
则sin2x＞0，
则sin2x=1，则2x=$\frac{π}{2}$，
则sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查三角函数的化简和求值，根据同角的三角函数关系以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．