Question

已知平面向量=（，-1），=（，）．
（1）证明：⊥；
（2）若存在实数k和t，使得x=+（t²-3），y=-k+t，且x⊥y，试求函数关系式k=f（t）；
（3）根据（2）的结论，确定k=f（t）的单调区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）只要证明=0，即可证明a⊥b
（2）根据⊥可得，=0，再化简，即可得到含t和k的式子，用t表示k，可得函数关系式k=f（t）．
（3）利用导数求单调区间，先求导，k′＜0得到，函数的减区间，令k′＞0得到函数的增区间．
解答：解：（1）证明：∵=（，-1），=（，）
∴×+（-1）×=0，∴⊥  …（4分）
（2）由题意知
=（，），
=（t-k，t+k）
又⊥故•=×（t-k）+×（t+k）=0
整理得：t²-3t-4k=0即k=t³-t  …（4分）
（3）由（2）知：k=f（t）=t³-t
∴k′=f′（t）=t²-
令k′＜0得-1＜t＜1；t＜-1或t＞1
故k=f（t）单调递减区间是（-1，1），单调递增区间是（-∞，-1）∪（1，+∞）．…（4分）
点评：本题考查了向量垂直充要条件的应用，以及导数求单调区间，属于基础题，应该掌握．