Question

已知椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线交椭圆于B、D两点，过F₂的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P，
（Ⅰ）设P点的坐标为（x₀，y₀），证明：；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由AC⊥BD知点P在以线段为直径的圆上，故，
所以，；
（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程，并化简得，
设，
则，
；
因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为，
所以，，
四边形ABCD的面积
，
当时，上式取等号；
（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4；
综上，四边形ABCD的面积的最小值为．