题目内容

（1）已知 $数学公式$ ，求sin⁴x+cos⁴x的值；
（2）已知 $数学公式$ ，0＜x＜π，求cosx+2sinx的值．

解：（1）由已知 $\text{[math]}$ ，
两边平方得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（2分）．
sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x= $\text{[math]}$ ；（5分）

（2）因为 $\text{[math]}$ ，①
两边平方得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＜0，（7分）
所以 $\text{[math]}$ ，（9分）
由0＜x＜π，sinxcosx＜0，得到 $\text{[math]}$ ＜x＜π，
于是sinx＞0，cosx＜0， $\text{[math]}$ ，②（11分）
由①②得sinx= $\text{[math]}$ ，cosx=- $\text{[math]}$ ，（13分）
所以cosx+2sinx=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）把已知的等式两边平方，左边利用完全平方公式展开后，利用同角三角函数间的基本关系求出sinxcosx的值，然后把所求的式子加上2sin²xcos²x，且减去2sin²xcos²x保持与原式相等，配方为完全平方式后，利用同角三角函数间的基本关系化简，并把求出的sinxcosx的值代入即可求出值；
（2）把已知的等式两边平方，左边利用完全平方公式展开后，利用同角三角函数间的基本关系求出2sinxcosx的值，然后利用完全平方公式把（sinx-cosx）²展开后，利用同角三角函数间的基本关系化简，并把求出的2sinxcosx的值代入可求出（sinx-cosx）²的值，根据x的范围及sinxcosx小于0，得出x为钝角，故sinx-cosx大于0，开方可求出sinx-cosx的值，与已知的等式联立即可求出sinx和cosx的值，把求出的sinx和cosx的值代入所求的式子即可求出值．
点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的应用，以及整体代入思想的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．