Question

设数列的前项和为(即)，且方程有一根为－1，＝1,2,3…….

(1)求；

(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明。

 

Answer 1

解：(1)当n＝1时，x²－a₁x－a₁＝0有一根为S₁－1＝a₁－1，

于是(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，

解得a₁＝.    

当n＝2时，x²－a₂x－a₂＝0有一根为S₂－1＝a₂－，于是²－a₂－a₂＝0，解得a₂＝.  

(2)由题设(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，

即S－2S_n＋1－a_nS_n＝0.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1，

代入上式得S_n－1S_n－2S_n＋1＝0.①

由(1)得S₁＝a₁＝，

S₂＝a₁＋a₂＝＋＝.

由①可得S₃＝.由此猜想S_n＝，n＝1,2,3….  

下面用数学归纳法证明这个结论．

(ⅰ)n＝1时已知结论成立．

(ⅱ)假设n＝k(k≥1，k∈N^*)时结论成立，

即S_k＝，

当n＝k＋1时，由①得S_k＋1＝，

即S_k＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．

综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S_n＝对所有正整数n都成立．