Question

15．已知A（6，0），B（0，6），C为椭圆$\frac{{x}^{2}}{20}$$+\frac{{y}^{2}}{5}$=1上一点，求△ABC面积最小值．

Answer 1

分析 由已知条件，设C（2$\sqrt{5}$cosα，$\sqrt{5}$sinα），由此能求出点C（2$\sqrt{5}$cosα，$\sqrt{5}$sinα）到直线AB：x+y-6=0的距离的最小值，由两点的距离公式可得|AB|，由此能求出△ABC面积的最小值．

解答 解：由点C是椭圆$\frac{{x}^{2}}{20}$$+\frac{{y}^{2}}{5}$=1上任一点，
可设C（2$\sqrt{5}$cosα，$\sqrt{5}$sinα），
点C（2$\sqrt{5}$cosα，$\sqrt{5}$sinα）到直线AB：x+y-6=0的距离：
d=$\frac{|2\sqrt{5}cosα+\sqrt{5}sinα-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（α+θ）-6|}{\sqrt{2}}$（其中sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
∴d_min=$\frac{|5-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又|AB|=$\sqrt{36+36}$=6$\sqrt{2}$，
∴△ABC面积的最小值为$\frac{1}{2}$•6$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3．

点评 本题考查三角形面积的最小值的求法，考查椭圆、直线方程、点到直线的距离公式的知识点，解题时要注意椭圆的参数方程的合理运用．