题目内容

已知二项式 $数学公式$ 的展开式中，
（ I）求展开式中含x⁴项的系数；
（ II）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，试求r的值．

解：（ I）写出展开式的特征项，
第k+1项为 $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ，解得k=4，
∴展开式中含x⁴项的系数为（-2）⁴C₁₀⁴=3360
（ II）∵第3r项的二项式系数为C₁₀^3r-1，第r+2项的二项式系数C₁₀^r+1
∴C₁₀^3r-1=C₁₀^r+1故3r-1=r+1或3r-1+r+1=10
∴r=1
分析：（I）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是4时，把4代入整理出k的值，就得到这一项的系数的值．
（II）根据上一问写出的特征项和第3r项和第r+2项的二项式系数相等，表示出一个关于r的方程，解方程即可．
点评：本题考查二项式定理，这是一个典型题目，解题的关键是写出展开式的特征项，利用特征项的特点解决问题，注意代数式的整理，特别是当分母上带有变量时，注意整理．