Question

【题目】已知函数．

（1）求的极值点；

（2）若曲线 上总存在不同两点，使得曲线在两点处的切线互相平行，证明：

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，并进行通分和因式分解的化简，并求得导数为0的值，和，讨论两根的大小关系，并得到极值点两侧的单调性，判断是极大值还是极小值，（2）由题意可知，并化简解得，根据基本不等式，化简为，最后根据，证得不等式.

试题解析：（1）的定义域，

，

当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，

∴是的极大值点，是的极小值点，

当时，，在上单调递增，无极值点，

当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，

∴是的极大值点，是的极小值点；

（2）由题知：，即：，

∴，

由于，且，

∴，则有：，

∴，

∴，又，，当且仅当时取“=”，

∴，即证．