Question

求所有实多项式f和g，使得对所有x∈R，有：（x²+x+1）f（x²-x+1）=（x²-x+1）g（x²+x+1）．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：可设：f（x）=x•a（x）；g（x）=x•b（x），因此原条件可化为：a（x²-x+1）=b（x²+x+1），令x=-y，得：a（y²+y+1）=b（y²-y+1），进而证明a（x）-a（1）是零多项式，即a（x）为常数，从而可得结论．

解答： 解：设w是1的非实的立方根，满足w²+w+1=0，则g（w²+w+1）g（0）=0，
设α为-1的非实的立方根，则f（α²-α+1）=f（0）=0，
故可设：f（x）=x•a（x）；g（x）=x•b（x）．
因此原条件可化为：a（x²-x+1）=b（x²+x+1）．
令x=-y，得：a（y²+y+1）=b（y²-y+1）．
下面证明无穷多个n使得：a（n²+3n+3）=a（1）．
由n=1可得：a（1）=a（7），
假设a[（n-1）²+3（n-1）+3]=a（1）（n≥2），
则a[（n+1）²+3（n+1）+3]=a[（n+2）²+（n+2）+1]=a[（n+1）²-（n+1）+1]
=a[（n-1）²+3（n-1）+3]=a（1）．
由于多项式a（x）-a（1）有无穷多个根，所以a（x）-a（1）是零多项式，
即a（x）为常数，因此f（x）=kx，类似可知：g（x）=kx．

点评：本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．