Question

函数f(x)=

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x3-2x2+ax+10在区间[-1，4]上有反函数，则a的范围为是（　　）

• A、（-∞，+∞）
• B、[2，+∞）
• C、（-16，2）
• D、（-∞，-16]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：由题意说明函数在区间[-1，4]上是单调函数，利用导数确定导函数在区间[-1，4]上的符号不变，求出a的范围．

解答：解：因为f(x)=

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x3-2x2+ax+10在区间[-1，4]上有反函数，
所以f（x）在该区间[-1，4]上单调，则f'（x）=2x²-4x+a≥0在[-1，4]上恒成立，
得a≥2或f'（x）=x²-2x+a≤0在[-1，4]上恒成立，得a≤-16．
故选D．

点评：本题考查反函数存在与导数性质的关系，同时也考查了二次函数、二次不等式等知识及分类讨论这一重要思想方法．