Question

已知函数f(x)=

2

3x-1

+m是奇函数，
（1）求常数m的值；
（2）求f （x）的值域；
（3）证明f（x）在 （-∞，0）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，然后根据奇函数的定义建立等式关系，即可求出m的值；
（2）将3^x用y表示表示，然后根据3^x的有界性建立不等关系，可求出y的取值范围，即为函数的值域；
（3）设 x₁＜x₂＜0，然后计算f（x₁）-f（x₂），通过通分化简变形从而确定符号，根据函数的单调性的定义可得结论．

解答：解：（1）定义域  （-∞，0）∪（0，+∞）（1分）
f(x)=

2

3x-1

+m是奇函数 
且f(-x)=

2

3-x-1

+m=

2•3x

1-3x

+m
f(x)+f(-x)=

2

3x-1

+m+

2•3x

1-3x

+m=-2+2m=0
∴m=1     （3分）
（2）f(x)=

2

3x-1

+1=

3x+1

3x-1

由y=

3x+1

3x-1

得3x=

y+1

y-1

＞0
∴y＜-1或y＞1
值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．（4分）
（3）设 x₁＜x₂＜0，（1分）
则f(x1)-f(x2)=

3x1+1

3x1-1

-

3x2+1

3x2-1

=

2

3x1-1

-

2

3x2-1

=

2(3x2-3x1)

(3x1-1)(3x2-1)

（2分）
∵3＞1，x₁＜x₂＜0，
∴3x1＜3x2＜1⇒3x2-3x1＞0，3x1-1＜0，3x2-1＜0

2(3x2-3x1)

(3x1-1)(3x2-1)

＞0（2分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
函数在（-∞，0）上是减函数．（2分）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的值域和函数的单调性的判定，属于中档题．