Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为,抛物线上一点的横坐标为2，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于，两点,求证: .

Answer 1

(1)(2)详见解析.

解析试题分析：(1)可利用待定系数法设抛物线方程为求解；
(2)因为是直线与圆锥曲线的相交问，可以设直线方程（斜率不存在时单独讨论），然后联立抛物线方程和直线方程运用韦达定理结合条件来求解.
试题解析：解：(1)由题设抛物线的方程为：，
则点的坐标为，点的一个坐标为，2分
∵，∴，4分
∴，∴，∴.6分
(2)设、两点坐标分别为、，
法一：因为直线当的斜率不为0，设直线当的方程为
方程组得，

因为
所以
=0，
所以.
法二：①当的斜率不存在时，的方程为，此时
即有所以.…… 8分
当的斜率存在时，设的方程为
方程组得
所以10分
因为
所以
所以.
由①②得.12分
考点：1.抛物线的标准方程；2.直线与圆锥曲线的位置关系.