题目内容
10．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）在椭圆E上，射线AO与椭圆E的另一交点为B，点P（-4t，t）在椭圆E内部，射线AP、BP与椭圆E的另一交点分别为C，D．（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：直线CD的斜率为定值．
分析 （1）将点A代入椭圆方程，e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，联立求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）根据对称性求得B点坐标，$\overrightarrow{AP}$=${λ}_{1}\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}={λ}_{2}\overrightarrow{PD}$，求得x1和y1，代入椭圆方程，求得$（{λ}_{1}+1）•18{t}^{2}={λ}_{1}-1$，同理求得（λ2+1）•18t2=λ2-1，两式相减求得λ1=λ2，因此可证明CD∥AB，进一步求出直线AB的斜率，则结论可证．
解答 （1）解：将点A代入椭圆方程得：$\frac{（\frac{1}{3}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{2}{3}）^{2}}{{b}^{2}}=1$，且e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：a2=1，${b}^{2}=\frac{1}{2}$，
∴椭圆E的方程为：x2+2y2=1；
（2）证明：∵A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴B（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
设C（x1，y1），D（x2，y2），$\overrightarrow{AP}$=${λ}_{1}\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}={λ}_{2}\overrightarrow{PD}$，其中：λ1，λ2∈（0，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{（{λ}_{1}+1）（-4t）-\frac{1}{3}}{{λ}_{1}}}\\{{y}_{1}=\frac{（{λ}_{1}+1）t-\frac{2}{3}}{{λ}_{1}}}\end{array}\right.$，代入椭圆方程并整理得，$（{λ}_{1}+1）•18{t}^{2}={λ}_{1}-1$，
同理得，（λ2+1）•18t2=λ2-1，
两式相减得：（λ1-λ2）•（18t2-1）=0．
∵点P（-4t，t）在椭圆E内部，
∴18t2＜1，
∴λ1=λ2，
∴CD∥AB．
又${k}_{AB}=\frac{-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}=2$．
∴直线CD的斜率为定值．
点评 本题考查求椭圆的方程，利用向量共线定理证明两直线平行，点的对称性，考查综合分析问题及解决问题的能力，属于中档题．
，
，若
是
的充分而不必要条件，求实数
的取值范围.
关于月份
的线性回归方程；
，
． 
，则输出的
等于（ ）
如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，2AE=BD=2．| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | $2\sqrt{2}$ | D． | $2\sqrt{3}$ |
| A． | 2+$\sqrt{2}$ | B． | 2-$\sqrt{2}$ | C． | 2 | D． | 2$\sqrt{2}$ |