如图.在平面直角坐标系xOy中.已知椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.点A($\frac{1}{3}$.$\frac{2}{3}$)在椭圆E上.射线AO与椭圆E的另一交点为B.点P在椭圆E内部.射线AP.BP与椭圆E的另一交点分别为C.D．(1)求椭圆E的方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）在椭圆E上，射线AO与椭圆E的另一交点为B，点P（-4t，t）在椭圆E内部，射线AP、BP与椭圆E的另一交点分别为C，D．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：直线CD的斜率为定值．

分析（1）将点A代入椭圆方程，e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，联立求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）根据对称性求得B点坐标，$\overrightarrow{AP}$=${λ}_{1}\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}={λ}_{2}\overrightarrow{PD}$，求得x₁和y₁，代入椭圆方程，求得$（{λ}_{1}+1）•18{t}^{2}={λ}_{1}-1$，同理求得（λ₂+1）•18t²=λ₂-1，两式相减求得λ₁=λ₂，因此可证明CD∥AB，进一步求出直线AB的斜率，则结论可证．

解答（1）解：将点A代入椭圆方程得：$\frac{（\frac{1}{3}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{2}{3}）^{2}}{{b}^{2}}=1$，且e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：a²=1，${b}^{2}=\frac{1}{2}$，
∴椭圆E的方程为：x²+2y²=1；
（2）证明：∵A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴B（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），$\overrightarrow{AP}$=${λ}_{1}\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}={λ}_{2}\overrightarrow{PD}$，其中：λ₁，λ₂∈（0，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{（{λ}_{1}+1）（-4t）-\frac{1}{3}}{{λ}_{1}}}\\{{y}_{1}=\frac{（{λ}_{1}+1）t-\frac{2}{3}}{{λ}_{1}}}\end{array}\right.$，代入椭圆方程并整理得，$（{λ}_{1}+1）•18{t}^{2}={λ}_{1}-1$，
同理得，（λ₂+1）•18t²=λ₂-1，
两式相减得：（λ₁-λ₂）•（18t²-1）=0．
∵点P（-4t，t）在椭圆E内部，
∴18t²＜1，
∴λ₁=λ₂，
∴CD∥AB．
又${k}_{AB}=\frac{-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}=2$．
∴直线CD的斜率为定值．