题目内容

（2012•宁国市模拟）在△ABC中，
AB
•
AC
=1，
AB
•
BC
=-3．
（1）求AB边的长度；
（2）求
sin(A-B)
sinC
的值．
分析：（1）直接根据
AB
•
AC
=
AB
•(
AB
+
BC
)，再结合
AB
•
AC
=1，
AB
•
BC
=-3即可求出求AB边的长度；
（2）结合已知及（1）可得：2bcosA=1，2acos（π-B）=-3；再利用正弦定理把所有的边都用角表示出来得到sinAcosB=3sinBcosA，再代入所求即可得到结论．
解答：解：（1）∵
AB
•
AC
=
AB
•(
AB
+
BC
)
=
AB
•
AB
+
AB
•
BC
=
AB
2-3=1．
∴|
AB
|=2．即AB边的长度为2．（5分）
（2）由已知及（1）有：2bcosA=1，2acos（π-B）=-3，
∴acosB=3bcosA（8分）
由正弦定理得：sinAcosB=3sinBcosA（10分）
∴
sin(A-B)
sinC
=
sin(A-B)
sin(A+B)
=
sinAcosB-cosAsinB
sinAcosB+cosAsinB
=
1
2
（12分）
点评：本题是对向量的数量积以及两角和与差的正弦函数的综合考查．在解决问题的过程中，用到了解三角形常用的方法之一：边转化为角．
练习册系列答案
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（2012•宁国市模拟）已知lgx+lgy=1，则
8
x
+
5
y
的最小值是
4
4
．
（2012•宁国市模拟）已知A={x|y=lo
g
x
2
}，B={y|y=2x，x＞0}，则CAB=（　　）
（2012•宁国市模拟）下列命题中正确的是
②③⑤
②③⑤
 （写出所有正确命题的编号）
①y=sinx（x∈R），在第一象限是增函数；
②对任意△ABC，cosA+cosB＞0恒成立；
③tanx=0是tan2x=0的充分但不必要条件；
④y=|sinx|和y=sin|x|都是R上周期函数；
⑤y=tanx的图象关于点(
kπ2
，0)，（k∈Z）成中心对称．
（2012•宁国市模拟）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日    期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差x（°C） 10 11 13 12 8
发芽数y（颗） 23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；并预报当温差为9 0C时的种子发芽数．
（2012•宁国市模拟）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点M（
3
2
，
6
），它的焦距为2，它的左、右顶点分别为A1，A2，P1是该椭圆上的一个动点（非顶点），点P2 是点P1关于x轴的对称点，直线A1P1与A2P2相交于点E．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）求点E的轨迹方程．

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